Během velikonočních svátků panovaly mezi členy českého krizového štábu bojujícího s koronavirem obavy. Báli se, že lidé přestanou důsledně dodržovat omezení vzájemného kontaktu. Členové štábu mnohokrát během prodlouženého víkendu na lidi apelovali, aby nechodili koledovat. Měli k tomu důvod − v matematice se mu říká exponenciální růst. Dokáže zajistit, že kvůli jednomu kolednickému dni může epidemie znovu nabrat na síle. Exponenciální růst je všude kolem nás, řídí klimatické změny, růst ekonomiky nebo vývoj technologií. Je proto pro lidstvo důležité, aby se naučilo chápat jeho důsledky, byť to pro lidskou mysl není snadné.

Co je to exponenciální růst a jaká jsou jeho úskalí, přesně ilustruje legenda o velkovezírovi Sissovi ben Dahirovi, jenž je považován za vynálezce šachů. Hru daroval indickému králi, kterému udělala takovou radost, že velkovezírovi nabídl, aby si sám řekl, co chce za odměnu. Dahir odpověděl, že by rád rýži, a to tak, že za první políčko šachovnice dostane jedno zrnko, za druhé dvě zrnka, za třetí čtyři, za čtvrté osm zrnek a tak dále až po poslední čtyřiašedesáté políčko. S každým dalším políčkem žádal jen dvojnásobek rýže, která byla na políčku předešlém.

Král nadšeně souhlasil a byl rád, jak levně pořídil. Zradila ho ale intuice. Ve skutečnosti kývl na obchod, k jehož uskutečnění by potřeboval při dnešní výnosnosti rýžových polí přibližně 260 zeměkoulí. Velkovezír na rozdíl od krále chápal a znal důsledky exponenciálního růstu. V případě šíření koronaviru se děje to samé. Pokud nedojde k žádným opatřením ze strany vlády, virus se šíří stejně, jako na šachovnici přibývá zrnek rýže. Podle statistik každý infekční člověk nakazí v průměru dva až tři další. Stejně jako roste počet zrnek na šachovnici, roste počet nakažených.

Ze začátku − stejně jako u rýže − nejsou čísla nijak závratná. Pokud je v populaci jediný nakažený, pak po deseti dnech, což je zhruba inkubační doba viru, jsou nově infekční dva až tři lidé, které nakazil právě onen jeden člověk. Tito lidé ale nakazí podle stejného pravidla další a po šedesáti dnech už je v populaci 406 nemocných − a to byl na začátku nakažený pouze jeden jediný člověk. Pokud jich je od počátku nakažených více, jako je tomu v současnosti, pak je růst o to prudší.

7,7 miliardy lidí

obývá planetu Zemi. Také lidstvo následuje exponenciální růst – první miliardy obyvatel dosáhla lidská populace teprve v roce 1804.

2 roky

trvá, než se zdvojnásobí při stejné ceně počet tranzistorů, které lze umístit na integrovaný obvod v počítači. Takzvaný Moorův zákon z roku 1975 s drobnými úpravami platí dodnes.

42 přeložení

papíru o tloušťce 0,01 centimetru, na jakém se tisknou HN, dá vzniknout mase papíru silné tak, že by dosáhla z povrchu Země až na Měsíc.

2,718

je přibližná hodnota Eulerova čísla, matematické konstanty, která udává rychlost exponenciálního růstu, jenž je přítomen v přírodě i v lidské společnosti.

Popsaný scénář rostoucího počtu nakažených počítá s přirozeným průběhem epidemie, kdy nedojde k žádným opatřením. Pokud ale zákazy či doporučeními vláda sníží sociální kontakty mezi lidmi, klesne počet osob, které jediný infikovaný na začátku dokáže nakazit. Pokud by klesl vzájemný kontakt o polovinu, za deset dní by byli jen jeden až dva infikovaní lidé a za šedesát dní pouze patnáct. V situaci bez opatření by jich bylo třicetkrát víc. Velmi proto také záleží na tom, zda lidé opatření dodržují, a proto už nyní krizový štáb počítá s tím, že v následujících dnech začne znovu přibývat nakažených. Jen netuší, jak rychle, protože neví, jak moc lidé během Velikonoc pravidla porušovali.

Exponenciální růst je ze začátku pomalý a tichý, a navíc se v případě viru jeho důsledky projevují se zpožděním. Koronavirus člověka nakazí, ale první příznaky se obvykle projeví až po týdnu, někdy to může trvat i 14 dní. Proto je i tento týden vládou zveřejněný plán uvolňování opatření poměrně časově roztažený, kdy mezi jednotlivými kroky jsou jeden až dva týdny. Tento čas je nutný pro to, aby epidemiologové byli schopni zjistit, jak se virus chová. Pokud se po prvním výraznějším uvolnění, jež nastane v pondělí, do týdne nezačne situace výrazně zhoršovat, může uvolňování pokračovat.

Nyní je už jasné, proč je exponenciální růst potenciálně nebezpečný. Americký fyzik Allen Barlett vždy dodával, že právě nedocenění důsledků tohoto růstu je největší nedostatek lidské společnosti. Exponenciální růst se přitom projevuje všude v přírodě − od rozmnožování přes klimatické změny až po radioaktivní rozpad. Je přítomný v lidské společnosti od pokroku ve výpočetní technice k ekonomickému růstu. První, kdo exponenciální růst začali hlouběji zkoumat a dosáhli průlomu, byli matematici. Vyprávěná legenda o velkovezírovi neměla šťastný konec. Král se na Dahira rozzlobil, že ho se zrnky rýže napálil, a nechal jej popravit. Matematik Jacob Bernoulli, žijící v 17. století, byl už naštěstí natolik rozumný, že se do podobných hrátek − v jeho případě s britským panovníkem − nepustil. Bernoulli na exponenciální růst narazil, když si pohrával se složeným úročením, které bylo v té době v Evropě legální teprve několik desítek let. Předtím bylo považované za lichvu a jeho uplatnění vůči dlužníkovi bylo trestáno.

Nedávno jste již předplatné aktivoval

Je nám líto, ale nabídku na váš účet v tomto případě nemůžete uplatnit.

Pokračovat na článek

Tento článek pro vás někdo odemknul

Obvykle jsou naše články jen pro předplatitele. Dejte nám na sebe e-mail a staňte se na týden zdarma předplatitelem HN+ i vy!

Navíc pro vás chystáme pravidelný výběr nejlepších článků a pohled do backstage Hospodářských novin.

Zdá se, že už se známe

Pod vámi uvedenou e-mailovou adresou již evidujeme uživatelský účet.

Děkujeme, teď už si užijte váš článek zdarma

Na váš e-mail jsme odeslali bližší informace o vašem předplatném.

Od tohoto okamžiku můžete číst neomezeně HN+ na týden zdarma. Začít můžete s článkem, který pro vás někdo odemknul.

Na váš e-mail jsme odeslali informace k registraci.

V e-mailu máte odkaz k nastavení hesla a dokončení registrace. Je to jen pár kliků, po kterých můžete číst neomezeně HN+ na týden zdarma. Ale to klidně počká, zatím si můžete přečíst článek, který pro vás někdo odemknul.

Pokračovat na článek

Složený úrok funguje následovně: Pokud si člověk půjčí jednu korunu a roční úrok činí sto procent, bude muset za rok zaplatit přesně dvě koruny, tedy dvojnásobek. To je situace, kdy se úrok připíše na konci roku. Když si člověk půjčí korunu s půlročním připisováním úroku, bude po prvním půlroce dlužit 1,5 koruny. Stoprocentní úrok se v tomto případě dělí na padesátiprocentní pro první i druhou polovinu roku. Na konci roku ale dluží už 2,25 koruny, protože pro druhý půlrok mu naběhne úrok v podobě poloviny z 1,5 koruny. Úrok se takto skládá a dlužná částka je vyšší, než kdyby se úrok připsal jen na konci roku.

Kdyby člověk pokračoval dál a úročil každý den odpovídajícím denním úrokem, tedy 100 procenty vydělenými 365 dny, vyšla by mu dlužná částka 2,715 koruny. V duchu Bernoulliho ale můžeme jít do ještě většího extrému a úročit každou minutu nebo i sekundu. Kupodivu ani tehdy už dlužná částka nijak výrazně nenaroste a zastaví se přibližně na hodnotě 2,718. O půlstoletí později se Bernoulliho myšlenky a podezřelého čísla ujal geniální švýcarský matematik Leonhard Euler a našel elegantní způsob výpočtu, jak se dostat k dalším desetinným místům tohoto čísla a zároveň tím dokázat, že jde o číslo iracionální, což je každé číslo, které nelze zapsat ve tvaru zlomku. Číslo 2,718281828459045… a tak dále označil písmenem e. Mezi iracionální čísla patří například odmocnina ze dvou nebo známé π (3,1415… a tak dále), které udává poměr obvodu kruhu k jeho průměru a v přírodě se nachází všude, kde je něco kruhového nebo rotujícího. Číslo e se naopak vyskytuje všude, kde něco roste. V přírodě se pojí s kontinuálním růstem. Slovo kontinuální znamená − ve vztahu k příkladu s úrokem −, že Eulerovo číslo představuje maximální dlužnou částku, kdyby se úrok připisoval každý okamžik (odtud kontinuální) − dlužná částka při daném úroku na konci roku nebude nikdy vyšší než 2,718 koruny.

Exponenciální růst je potenciálně nebezpečný. Americký fyzik Allen Barlett proto vždy dodával, že právě nedocenění důsledků tohoto růstu je největší nedostatek lidské společnosti.
Exponenciální růst je potenciálně nebezpečný. Americký fyzik Allen Barlett proto vždy dodával, že právě nedocenění důsledků tohoto růstu je největší nedostatek lidské společnosti.
Ilustrace: Jindřich Janíček

Euler následně navrhl formuli, která umožňuje přímočařejší výpočet zmíněné dlužné částky, kdy stačí vzít číslo e a umocnit ho součinem úroku a úročeným obdobím. Úrok ve zmíněném příkladu činil 100 procent, což matematicky zapsáno znamená 1, a úročené období je jeden rok, tedy také 1. Součin dvou jedniček je zase 1. Když se proto číslo e umocní na prvou, výsledek je opět číslo e, které odpovídá 2,718 − tedy maximální možné dlužné částce. Celé se to může jevit jako matematické hrátky, ve skutečnosti je ale objev čísla e přelomový, neboť vstupuje v současnosti prakticky do jakéhokoliv modelu, ať již jde o snahu předpovídat klimatické změny, ekonomický růst, technologický pokrok nebo třeba šíření viru v populaci.

Prakticky si lze využití Eulerova čísla ukázat při snaze o odhad rychlosti vývoje výpočetní techniky. Moorův zákon říká, že každé dva roky se při zachování stejné ceny zdvojnásobí počet tranzistorů, které je možné umístit na jeden integrovaný obvod. Tranzistor je základní funkční jednotka počítače a jejich množství udává jeho výkonnost. Predikce vynálezce a podnikatele Gordona Moora z roku 1975 přitom poměrně dobře odpovídá reálným datům. Jak s využitím Eulerova čísla spočítat, kolikrát se od roku 1975 zvýšil výkon počítačů? Stačí použít stejný postup jako u výpočtu dlužné částky. Tentokrát úroku odpovídá rychlost, jakou tranzistorů přibývá. Vzhledem k tomu, že jde o zdvojnásobení, tedy přírůstek o 100 procent za dané období, je rychlost rovna jedné − stejně jako vstupoval do výpočtu dluhu stoprocentní úrok jako jednička. Za období lze zvolit číslo 20, což odpovídá 40 letům, neboť ke zdvojnásobení dojde každé dva roky. Po umocnění čísla e součinem čísel 1 a 20 vychází, že se za daných čtyřicet let, tedy mezi lety 1975 a 2015, výkon počítačů zvýšil více než miliardkrát − a to je blízké realitě.

Kdyby tento růst pokračoval, v roce 2025 už by mohlo jít o bilionkrát větší výkon než v roce 1975. Nebo jinak řečeno počítače by mohly být za pět let milionkrát výkonnější než ty v roce 2015. Vývoj má ovšem své limity a tranzistory lze zmenšovat pouze do určitých rozměrů v jednotkách nanometrů, níže už začínají pracovat zákony kvantové mechaniky, které menší tranzistory sestrojit nedovolují. Proto začíná nárůst výkonu zpomalovat: výrobce čipů Intel uvádí, že zdvojnásobení trvá nyní spíše dva a půl roku než původní dva roky navržené Moorem. To opět dokládá, že i exponenciální růst, ať už v přírodě, nebo ve společnosti, časem zpomaluje, naráží na své limity.

Šíření virů je omezené prostředím a dostupnými zdroji. Kdyby se nechala současná epidemie přirozeně prohnat populací, postupně by sama od sebe odezněla − koronaviru by časem došli lidé, které by mohl nakazit. Podle odhadu vědců by se zastavil ve chvíli, kdy by nemoc prodělalo přibližně 60 procent populace. Proč ne sto procent? Když člověk prodělá nemoc způsobenou koronavirem, stává se vůči němu, alespoň podle současných pozorování, většinou imunním. A s tím, jak roste v populaci počet imunních lidí, se snižuje pravděpodobnost, že virus při svém šíření narazí na novou vhodnou oběť. Tomuto principu se také říká stádní imunita. S ní například kalkulovali Britové, když na začátku epidemie razili cestu nechat koronavirem populaci promořit. Nicméně, jak později uznal sám premiér Boris Johnson, podcenili rychlost šíření viru − tedy počáteční exponenciální růst. Mnoho nakažených znamená zároveň i mnoho těch, kteří potřebují v jeden okamžik hospitalizaci. Britové si uvědomili, že nápor pacientů by byl tak velký, že by jim zkolabovalo zdravotnictví.

Útěšněji se exponenciální růst projevuje v ekonomice, právě díky němu se za poslední století tak prudce zvýšila životní úroveň lidí. Ale i ekonomický růst má své limity − omezují jej zdroje, jako jsou uhlí, ropa, zemní plyn, obecně kapitál i lidská práce. Proto postupně také zpomaluje a čím ekonomicky vyspělejší země je, tím zpravidla pomaleji roste. Znamenají zmíněné příklady, že se jednou rozvoj počítačů zastaví, že společnost začne ekonomicky stagnovat, ale také to, že epidemie koronaviru už nikdy nemůže přijít? Nikoliv. Koronavirus umí jako každá věc řízená evolucí geniální trik: mutovat. Ve chvíli, kdy virus zmutuje, populace přestává být imunní, neboť jej nedokáže rozpoznat. Epidemie může započít znovu. Takovou mutací ale prochází i technologie, kdy sice zpomaluje vývoj klasických počítačů, ale vpřed už se derou kvantové počítače. Není důvod se bát ani omezených zdrojů ekonomiky − vždyť sluneční soustava je jich plná a čekají jen, až si pro ně lidé přijdou.