VŠE o... číslech a utajování

Do pomníku významného slovinského matematika Josipa Plemelje (1873−1967) v krásném prostředí Bledského jezera jsou vytesána tato slova: "Matematika mi je životní potřebou a uměleckým požitkem." Věřím, že spolu s prvním rektorem lublaňské univerzity se takto vyznávají mnozí další matematici, k nimž se skromně připojuji i já.

Kdo to cítí stejně, nemůže mít radost z redukce výuky matematiky, která v posledních letech proběhla na mnoha vysokých školách. Sympatické je nedávné zařazení jednosemestrálního kurzu Matematické základy informatiky do studijních plánů oboru aplikované informatiky na VŠE. Probírají se zde mimo jiné základy teorie celých, respektive přirozených čísel, která leží mimo náplň tradičních vysokoškolských kurzů matematiky. Dlouho měla pověst sice zajímavé a bohaté teorie, avšak bez aplikací. V poslední třetině minulého století se však objevilo její významné využití, a to v kryptografii − k šifrování zpráv, k utajování. Pro rozvíjející se elektronickou komunikaci je to úžasný vklad.

Jedním ze základních pojmů teorie čísel je prvočíslo, což je přirozené číslo větší než 1, které kromě 1 a sebe sama nemá jiné dělitele. Prvočísly jsou například 2 či 11, a také 6917 a 7829. Zkuste si (nejraději jen s využitím znalostí ze základní školy) dvě uvedená čtyřciferná čísla mezi sebou vynásobit. Pár minut asi výpočet spotřebuje, ale dojít k výsledku 54 153 193 není nic těžkého. A teď si představte opačnou úlohu. Aniž byste předem prvočísla znali, máte toto číslo rozložit na součin prvočísel. To by se vám za přijatelnou dobu nepodařilo! V onom čísle sice informace o jeho činitelích je, avšak bez nějaké další informace je prakticky nedosažitelná.

Toho, že některé operace v jednom směru probíhají jednoduše, zatímco v obráceném jsou velmi obtížné, se využívá k šifrování zpráv. Se součinem dvou velkých prvočísel pracuje metoda RSA. Roku 1977 ji vymysleli matematici Rivest, Shamir a Adleman. Pro počítač by rozložit číslo 54 153 193 byla hračka, avšak v kryptografické praxi nepracujeme se čtyřcifernými, nýbrž třeba s několikasetcifernými čísly. Ta počítač, podobně jako v předchozím případě člověk, bez problémů vynásobí. Avšak jejich součin, bez znalosti aspoň jednoho z činitelů, v rozumném čase nedokáže na činitele rozložit. I s podstatou těchto exponenciálně složitých úloh se studenti v kurzu Matematické základy informatiky seznamují.

Teorie čísel našla důležitou aplikaci. To matematika potěší. Ale je to dobře i z určitého nadhledu? K bohatě prožívanému lidskému životu patří i snění. A což snít o světě, kde by všichni lidé byli slušní, poctiví a šifrování či utajování by prostě nepotřebovali? Byl by to krásný svět, nicméně ono ohromné uplatnění teorie čísel by ztratilo smysl. Slavný ruský učenec M. V. Lomonosov však napsal: "Matematiku už jen proto je dobré studovat, poněvadž ona rozum do pořádku dává." A tato úloha by matematice zůstala i v onom vysněném světě. A náleží jí i v dnešním světě plném různých "duševních protéz". A tak, těše se z možnosti seznamovat studenty se základy teorie čísel, doufám, že už pro "dávání rozumu do pořádku" matematika ve vysokoškolských studijních programech zas získá důstojnější postavení.